1. Đại số là gì?

Đại số (Algebra) là một nhánh của toán học nghiên cứu các cấu trúc đại số, các quy tắc và các phương pháp giải quyết các bài toán thông qua các biểu thức và phương trình toán học. Đại số không chỉ là một công cụ mạnh mẽ trong toán học mà còn là nền tảng cho nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác.

Dưới đây là một cái nhìn tổng quan về đại số, các khái niệm cơ bản và ứng dụng của nó:

---

1.1. Khái Niệm Cơ Bản về Đại Số

Đại số là lĩnh vực toán học nghiên cứu các biểu thức toán học và các mối quan hệ giữa chúng bằng cách sử dụng các ký hiệu và quy tắc chính thức. Đại số giúp chúng ta tổng quát hóa và giải quyết các bài toán toán học thông qua việc làm việc với các biến, hằng số, và các phép toán.

• Biểu thức đại số: Các kết hợp của các biến và hằng số bằng các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia. Ví dụ: $2x+3y-7$
• Phương trình đại số: Các biểu thức đại số gán một giá trị cụ thể cho biến, được sử dụng để tìm giá trị của biến. Ví dụ: $2x+3=7$
• Bất phương trình đại số: Các mối quan hệ không bằng nhau giữa các biểu thức đại số. Ví dụ: $x^2–4>0$

---

1.2. Các Phân Nhánh của Đại Số

Dưới đây là các phân nhánh chính của đại số cùng với tên tiếng Anh và mô tả chi tiết:

Phân Nhánh	Tên Tiếng Anh	Mô Tả
Đại số tuyến tính	Linear Algebra	Nghiên cứu các không gian vector, ma trận và hệ phương trình tuyến tính.
Đại số trừu tượng	Abstract Algebra	Nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường và mô-đun.
Đại số học số	Algebraic Number Theory	Nghiên cứu các số đại số và các cấu trúc đại số liên quan đến các số nguyên.
Đại số đại số hình học	Algebraic Geometry	Nghiên cứu các đa thức và các hình học được sinh ra từ các phương trình đại số.
Đại số mô hình hóa	Algebraic Modelling	Sử dụng đại số để xây dựng mô hình cho các vấn đề trong khoa học và kỹ thuật.

2. Bảng tóm tắt cấu trúc của Toán học

Dưới đây là các nhánh chính của toán học với tên gọi tiếng Anh và mô tả của từng nhánh.

Nhánh	Tên Tiếng Anh	Mô Tả
Đại số	Algebra	Nghiên cứu các cấu trúc đại số và phương pháp giải phương trình.
Đại số tuyến tính	Linear Algebra	Nghiên cứu vector spaces, matrices và các phép toán tuyến tính.
Đại số trừu tượng	Abstract Algebra	Nghiên cứu nhóm, vành, trường và các cấu trúc đại số khác.
Hình học	Geometry	Nghiên cứu các hình dạng và không gian.
Hình học Euclid	Euclidean Geometry	Hình học trong không gian hai và ba chiều theo các định lý của Euclid.
Hình học vi phân	Differential Geometry	Nghiên cứu các đường cong và bề mặt qua phép tính vi phân.
Hình học tôpô	Topology	Nghiên cứu các tính chất không thay đổi dưới biến đổi liên tục.
Giải tích	Calculus	Nghiên cứu các giới hạn, đạo hàm, tích phân và chuỗi.
Giải tích vi phân và tích phân	Differential and Integral Calculus	Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của vi phân và tích phân.
Giải tích thực và phức	Real and Complex Analysis	Nghiên cứu hàm thực và phức, các tính chất và ứng dụng của chúng.
Giải tích hàm	Functional Analysis	Nghiên cứu các không gian hàm và toán tử.
Lý thuyết số	Number Theory	Nghiên cứu các tính chất của các số nguyên và các vấn đề liên quan.
Xác suất và Thống kê	Probability and Statistics	Xác suất nghiên cứu hiện tượng ngẫu nhiên, thống kê phân tích dữ liệu.
Toán rời rạc	Discrete Mathematics	Nghiên cứu các cấu trúc rời rạc như đồ thị và tổ hợp.
Tối ưu hóa	Optimization	Nghiên cứu các phương pháp tối ưu cho các bài toán điều kiện.
Lý thuyết trò chơi	Game Theory	Nghiên cứu các mô hình cạnh tranh và hợp tác giữa các bên.
Toán học ứng dụng	Applied Mathematics	Sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế trong khoa học và kỹ thuật.
Logic toán học và Lý thuyết tập hợp	Mathematical Logic and Set Theory	Nghiên cứu các hệ thống logic và tập hợp, cùng các ứng dụng của chúng.
Hệ thống động lực học và Lý thuyết hỗn loạn	Dynamical Systems and Chaos Theory	Nghiên cứu các hệ thống thay đổi theo thời gian và các hiện tượng hỗn loạn.
Lý thuyết điều khiển	Control Theory

3. Bảng tóm tắt lịch sử Toán học

Thời Kỳ	Khoảng Thời Gian	Những Đóng Góp Chính	Nhân Vật Nổi Bật
Thời kỳ Cổ Đại	Khoảng 3000 TCN – 500 CN	Phát triển các phương pháp tính toán cơ bản, hệ thống số, hình học Euclid.	Euclid, Pythagoras
Thời kỳ Hy Lạp	Khoảng 600 TCN – 300 CN	Cơ sở hình học và lý thuyết số, định lý Pythagoras, nguyên lý hình học Euclid.	Euclid, Archimedes
Thời kỳ Trung Cổ	Khoảng 500 – 1500	Bảo tồn và phát triển toán học cổ đại, phát triển đại số, số học.	Al-Khwarizmi, Fibonacci
Thời kỳ Phục Hưng	Khoảng 1500 – 1700	Phát triển mạnh mẽ trong đại số, hình học, và số học, phát minh số học và phương pháp giải phương trình.	Descartes, Newton, Leibniz
Thế Kỷ 18	1700 – 1800	Phát triển giải tích, lý thuyết xác suất, và hình học phân tích.	Euler, Lagrange, Laplace
Thế Kỷ 19	1800 – 1900	Phát triển lý thuyết nhóm, đại số trừu tượng, và lý thuyết số hiện đại.	Gauss, Galois, Riemann
Thế Kỷ 20	1900 – 2000	Định hình các nhánh toán học hiện đại như lý thuyết toán tử, hình học đại số, và lý thuyết hỗn loạn.	Hilbert, Cantor, Gödel
Thế Kỷ 21	2000 – Nay	Phát triển các lĩnh vực như toán học máy tính, lý thuyết trò chơi, và ứng dụng của toán học trong khoa học dữ liệu.	Perelman, Wiles, Susskind